КТ

    МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.



    2 3 

     

    МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.

    И. С. ГРУЗМАН

    Рассмотрены методы получения проекци­онных данных и восстановления томогра­фических изображений на основе интег­ральных преобразований Радона.

    ВВЕДЕНИЕ

    Желание заглянуть внутрь непрозрачного объекта, не разрушив его, существовало на протяжении многих ве­ков развития человечества. Первым шагом в решении этой проблемы было открытие В.К. Рентгеном неза­долго до конца 1895 года X-лучей, проникающих через плотные вещества. Это величайшее открытие произве­ло ошеломляющее впечатление не только на ученых того времени, но и на всех образованных людей мира. Ведь Х-лучи, которые впоследствии в России были на­званы рентгеновскими, позволяли заглянуть внутрь непрозрачных тел и видеть сквозь них. Естественно, что самый большой интерес к практическому примене­нию рентгеновских лучей проявила медицина. Рентге­новские лучи позволяли получать изображения внут­ренних органов человека, обнаруживать посторонние предметы внутри его тела, переломы и т.п.

    В основе формирования рентгеновских изображе­ний лежит использование эффекта неодинаковой рент­геновской плотности веществ. Одни вещества пропус­кают лучи лучше, другие хуже. Пройдя через тело и попав на чувствительную пленку, лучи засвечивают участки пленки тем сильнее, чем меньше плотность ве­щества.

     

    Возможность оценки взаимного расположения различных органов тела, их точной геометрической формы при таком методе исследования существенно ограничена. Основной причиной является то, что мы получаем плоское (двумерное) теневое изображение объемного (трехмерного) объекта. Теневое рентгенов­ское изображение представляет собой сумму изображе­ний слоев тела, которые находятся на различных рас­стояниях от пленки. При этом внутренние органы тела на рентгеновском изображении наслаиваются друг на друга и важные особенности их пространственного расположения значительно искажаются или полностью утрачиваются. Задачи получения изображения каждого изолированного слоя объекта, не искаженного ника­кими наложениями, и восстановления его внутренней структуры решает современная компьютерная томо­графия (от греч. tomos - слой, срез).

    Математические основы компьютерной томогра­фии были заложены задолго до появления первых рент­геновских компьютерных томографов. Еще в 1917 году математик И. Радон предложил метод решения обрат­ной задачи интегральной геометрии, состоящий в вос­становлении (реконструкции) многомерных функций по их интегральным характеристикам. Однако этот ме­тод не нашел практического применения до тех пор, пока не появились рентгеновские установки, позволя­ющие получать большое число высококачественных снимков, необходимых для восстановления внутренней структуры реальных объектов, и быстродействующие ЭВМ, способные эти снимки обрабатывать. Первый в мире рентгеновский компьютерный томограф был про­демонстрирован Хаунсфилдом в 1972 году. Внедрение методов компьютерной томографии в медицину позво­лило существенно повысить эффективность диагнос­тики и обеспечило создание новых методов лечения. В настоящее время методы компьютерной томографии также широко используются в электронной и рентге­новской микроскопии - для получения структур крис­таллов и макромолекул, в геофизике - для поиска и разведки месторождений полезных ископаемых, в аст­рофизике - для исследования полей планет и в других областях науки и техники.

    ПОЛУЧЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ

    В основе большинства томографов лежит идея, состоя­щая в том, что внутреннюю структуру объекта можно представить получив ряд параллельных поперечных сечений. Поэтому главная задача компьютерной томо­графии состоит в получении двумерного (плоского) изображения поперечного сечения исследуемого объ­екта, которая и будет рассмотрена далее.

    Метод получения двумерного томографического изображения содержит два этапа. На первом этапе формируются проекционные данные, на втором по проекционным данным восстанавливается изображе­ние поперечного сечения.

    Чтобы определить внутреннюю структуру объекта, необходимо получить информацию о ней. Для этого используется излучение, проникающее сквозь объект. Пусть необходимо определить плотность распределе­ния вещества f(x, y) в сечении объекта. Исследуемый объект в пределах тонкого поперечного слоя просвечи­вается, например, параллельным пучком хорошо сфо­кусированных рентгеновских лучей (рис. 1). Направле­ние лучей составляет некоторый угол ф с осью x. Лучи ослабляются веществом, находящимся внутри объекта, пропорционально его плотности. С противоположной

    Рис. 1. Схема получения проекций

    стороны объекта располагается устройство, регистри­рующее интенсивность каждого луча, прошедшего че­рез объект. При этом полагается, что лучи распростра­няются в объекте вдоль прямой линии l, определяемой уравнением

    x cos ф + y sin ф- s = 0, (1)

    где s - расстояние от начала координат до соответству­ющего луча (см. рис. 1). Тогда интенсивность луча на выходе из объекта равна интегралу от искомого распре­деления f(x, y) вдоль траектории луча /:

    R (s, ф) = j" f (s cos ф - У sin ф, s sin ф + y‘cos

    где связь между исходной системой координат {x, y} и повернутой на угол ф системой координат {x‘, y‘} опре­деляется соотношением

    x = x‘cos ф - y ‘sin ф, y = x‘sin ф + y ‘cos ф,

    а уравнение прямой (1) в системе координат {x‘, y‘} име­ет вид

    x - s = 0.

     

    Регистрируемое излучение R(s, ф) называется радо-новским образом или проекцией, а преобразование (2) - преобразованием Радона. Проекции вычисляются под всевозможными углами ф и для тех значений s, при ко­торых двумерная функция f(x, y) отлична от нуля. На практике величина s ограничивается физическими раз­мерами исследуемого объекта, а угол ф изменяется в пределах от 0° до 180°, так как при изменении угла на 180° просвечивание ведется в строго обратном направ­лении, поэтому R(s, ф) = R(- s, ф + к). Удобно ввести в рассмотрение окружность радиуса a, охватывающую исследуемое поперечное сечение. В этом случае интег­рал в (2) имеет вид

    Г2 2 *la - s

    R(s, ф) = j f (scosф -y‘sinф, ssinф + y‘cosф)dy‘. (3)

    -4a - s

    Таким образом, каждое значение радоновского образа R(s, ф) есть интеграл от тех значений функции f( x, y), которые она принимает вдоль луча l, определяе­мого параметрами s и ф.

    В качестве примера вычислим радоновский образ для двух гауссовских импульсов, описываемых соотно­шением

    f( x, У) = exp

    ( x - xt)2 + (y - y і)2

    2 Ъ2

    (4)

    Подставляя (4) в (3), находим [1]

    R(s, ф) = ^Ъ~Дк exp

    ( Xj cos ф + yj sin ф - s))

    Функция (4) и соответствующий ей радоновский образ изображены на рис. 2. Видно, что функция и ра-доновский образ совсем непохожи друг на друга. Одна­ко между радоновским образом и функцией, порожда­ющей его, имеется взаимно однозначное соответствие, которое и лежит в основе всех алгоритмов реконструк­ции томографических изображений.

    x s Рис. 2. Функция (а) и ее радоновский образ (б)

    КЛАССИЧЕСКАЯ ТОМОГРАФИЯ

    До появления ЭВМ в медицине использовалась так на­зываемая классическая томография

    2 3